Условие
Докажите, что центр масс системы точек
X1,...,
Xn,
Y1,...,
Ym с массами
a1,...,
an,
b1,...,
bm
совпадает с центром масс двух точек — центра масс
X первой
системы с массой
a1 +...+
an и центра масс
Y второй системы
с массой
b1 +...+
bm.
Решение
Пусть
Z — произвольная точка,
a =
a1 +...+
an,
b =
b1 +...+
bm.
Тогда
![$ \overrightarrow{ZX}$](show_document.php?id=600537)
= (
a1![$ \overrightarrow{ZX_1}$](show_document.php?id=600539)
+...+
an![$ \overrightarrow{ZX_n}$](show_document.php?id=600540)
)/
a
и
![$ \overrightarrow{ZY}$](show_document.php?id=600538)
= (
b1![$ \overrightarrow{ZY_1}$](show_document.php?id=600541)
+...+
bm![$ \overrightarrow{ZY_m}$](show_document.php?id=600542)
)/
b.
Если
O — центр масс точки
X с массой
a и точки
Y
с массой
b, то
![$ \overrightarrow{ZO}$](show_document.php?id=600536)
= (
a![$ \overrightarrow{ZX}$](show_document.php?id=600537)
+
b![$ \overrightarrow{ZY}$](show_document.php?id=600538)
)/(
a +
b) = (
a1![$ \overrightarrow{ZX_1}$](show_document.php?id=600539)
+...+
an![$ \overrightarrow{ZX_n}$](show_document.php?id=600540)
+
b1![$ \overrightarrow{ZY_1}$](show_document.php?id=600541)
+...+
bm![$ \overrightarrow{ZY_m}$](show_document.php?id=600542)
)/(
a +
b),
т. е.
O — центр масс системы точек
X1,...,
Xn,
Y1,...,
Ym с массами
a1,...,
an,
b1,...,
bm.
Источники и прецеденты использования