Задача 57737

Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC и точка P. Точка Q такова, что CQ || AP, а точка R такова, что AR || BQ и  CR || BP. Докажите, что S_ABC = S_PQR.

Решение

Пусть a = , b = и  c = . Тогда = a, = b и  = c, причем (1 + )a + (1 + )b + (1 + )c = 0. Достаточно проверить, что = . Разность между этими величинами равна (a + c) (c + b) - (c + b) (a + b) = a c + a b + a b + a c = a [(1 + )c + (1 + )b] = - a (1 + )a = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	7
Название	Псевдоскалярное произведение
Тема	Псевдоскалярное произведение
задача
Номер	13.054