В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

   Решение

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

   Решение

Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Решение

Пусть v(t) и  w(t) — векторы, соединяющие первого пешехода со вторым и третьим в момент t. Ясно, что v(t) = ta + b и  w(t) = tc + d. Пешеходы находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда v(t)|w(t), т. е. v(t) w(t) = 0. Функция f (t) = v(t) w(t) = t²a c + t(a d + b c) + b d является квадратным трехчленом, причем f (0) 0. Квадратный трехчлен, не равный тождественно нулю, имеет не более двух корней.

Источники и прецеденты использования