Условие
Пусть
O и
R — центр и радиус описанной окружности
треугольника
ABC,
Z и
r — центр и радиус
его вписанной окружности;
K — точка пересечения медиан
треугольника с вершинами в точках касания вписанной
окружности со сторонами треугольника
ABC. Докажите,
что точка
Z лежит на отрезке
OK, причем
OZ :
ZK = 3
R :
r.
Решение
Пусть вписанная окружность касается сторон
AB,
BC
и
CA в точках
U,
V и
W. Требуется доказать, что
=
, т. е.
=
(
+
+
). Докажем, например, что проекции (с учетом знака)
этих векторов на прямую
BC равны; положительным при этом будем
считать направление луча
BC. Пусть
N — проекция точки
O
на прямую
BC. Тогда проекция вектора
на прямую
BC
равна
=
+
= (
a/2) - (
a +
b -
c)/2 = (
c -
b)/2.
А проекция вектора
+
+
на эту прямую
равна проекции вектора
+
, т. е. равна
- r sin VZU + r sin VZW = - r sin B + r sin C = r(c - b)/2R.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
13 |
|
Название |
Векторы |
|
Тема |
Векторы |
|
параграф |
|
Номер |
5 |
|
Название |
Вспомогательные проекции |
|
Тема |
Вспомогательные проекции |
|
задача |
|
Номер |
13.038 |
