Задача 57697

Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 9 Название задачи: Теорема Гаусса.

Условие

Дан четырехугольник ABCD. Пусть u = AD², v = BD², w = CD², U = BD² + CD² - BC², V = AD² + CD² - AC², W = AD² + BD² - AB². Докажите, что uU² + vV² + wW² = UVW + 4uvw.

Решение

Пусть a = , b = и  c = . Так как BC² = |b - c|² = BD² + CD² - 2(b,c), то U = 2(b,c). Аналогично, V = 2(a,c) и  W = 2(a,b). Пусть = (a,b) и  = (b,c). Домножив обе части равенства cos² + cos² + cos²( + ) = 2 cos cos cos( + ) + 1 (см. задачу 12.39, б)) на 4uvw = 4| a|²| b|²| c|², получим требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.015