ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57565
Тема:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какое наибольшее число точек можно поместить на отрезке длиной 1 так, чтобы на любом отрезке длиной d, содержащемся в этом отрезке, лежало не больше 1 + 1000d2 точек?

Решение

Докажем сначала, что 33 точки разместить таким образом нельзя. Действительно, если на отрезке длиной 1 находятся 33 точки, то расстояние между какими-нибудь двумя из них не превосходит 1/32. Отрезок с концами в этих точках содержит две точки, а он должен содержать не более 1 + 1000/322 точек, т. е. менее двух точек.
Докажем теперь, что 32 точки разместить можно. Возьмем 32 точки, делящие отрезок на равные части (концы данного отрезка входят в число этих 32 точек). Тогда отрезок длиной d содержит либо [31d], либо [31d] + 1 точек. Нужно доказать, что [31d]$ \le$1000d2. Если 31d < 1, то [31d] = 0 < 1000d2. Если 31d$ \ge$1, то [31d]$ \le$31d$ \le$(31d )2 = 961d2 < 1000d2.
римечание [x] — целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 6
Название Разные задачи
Тема Экстремальные свойства (прочее)
задача
Номер 11.045

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .