ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57562
Тема:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов $ \alpha$. Найдите наибольшее значение $ \alpha$.

Решение

Предположим сначала, что точки являются вершинами выпуклого пятиугольника. Сумма углов пятиугольника равна 540o, поэтому один из его углов не превосходит 540o/5 = 108o. Диагонали делят этот угол на три угла, поэтому один из них не превосходит 108o/3 = 36o. В этом случае $ \alpha$$ \le$36o.
Если точки не являются вершинами выпуклого пятиугольника, то одна из них лежит внутри треугольника, образованного тремя другими. Один из углов этого треугольника не превосходит 60o. Отрезок, соединяющий соответствующую вершину с внутренней точкой, делит этот угол на два угла, поэтому один из них не превосходит  30o. В этом случае $ \alpha$$ \le$30o. Во всех случаях $ \alpha$$ \le$36o. Ясно, что для правильного пятиугольника $ \alpha$ = 36o.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 6
Название Разные задачи
Тема Экстремальные свойства (прочее)
задача
Номер 11.042

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .