Условие
Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные
тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из
этих углов
. Найдите наибольшее значение
.
Решение
Предположим сначала, что точки являются вершинами выпуклого
пятиугольника. Сумма углов пятиугольника равна
540
o,
поэтому один из его углов не превосходит
540
o/5 = 108
o.
Диагонали делят этот угол на три угла, поэтому один из них не
превосходит
108
o/3 = 36
o. В этом случае
36
o.
Если точки не являются вершинами выпуклого пятиугольника, то одна из них
лежит внутри треугольника, образованного тремя другими. Один из
углов этого треугольника не превосходит
60
o. Отрезок,
соединяющий соответствующую вершину с внутренней точкой, делит
этот угол на два угла, поэтому один из них не превосходит
30
o.
В этом случае
30
o. Во всех случаях
36
o.
Ясно, что для правильного пятиугольника
= 36
o.
Источники и прецеденты использования