Задача 57542

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Выход в пространство ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Уравнение плоскости ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Условие

Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.

Решение

Пусть расстояния от точки O до сторон BC, CA и AB равны x, y и z соответственно. Тогда ax + by + cz = 2(S_BOC + S_COA + S_AOB) = 2S_ABC. Ясно также, что x : y : z = (S_BOC/a) : (S_COA/b) : (S_AOB/c).
Уравнение ax + by + cz = 2S задает плоскость в трехмерном пространстве с координатами x, y, z, причем вектор (a, b, c) перпендикулярен этой плоскости, так как если ax₁ + by₁ + cz₁ = 2S и  ax₂ + by₂ + cz₂ = 2S, то a(x₁ - x₂) + b(y₁ - y₂) + c(z₁ - z₂) = 0. Нам нужно найти точку (x₀, y₀, z₀) этой плоскости, для которой достигается минимум выражения x² + y² + z², и проверить, что этой точке соответствует некоторая внутренняя точка треугольника. Так как x² + y² + z² — это квадрат расстояния от начала координат до точки (x, y, z), то искомой точкой является основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, т. е. x : y : z = a : b : c. Остается проверить, что внутри треугольника существует точка O, для которой x : y : z = a : b : c. Это равенство эквивалентно условию

(S_BOC/a) : (S_COA/b) : (S_AOB/c) = a : b : c,

т. е. S_BOC : S_COA : S_AOB = a² : b² : c². А так как равенство S_BOC : S_AOB = a² : c² следует из равенств S_BOC : S_COA = a² : b² и S_COA : S_AOB = b² : c², то искомая точка — это точка пересечения прямых CC₁ и AA₁, делящих стороны AB и BC в отношениях BC₁ : C₁A = a² : b² и CA₁ : A₁B = b² : c² соответственно.

Замечания

Решить задачу можно также с помощью метода координат, найдя минимум с помощью производной (Ситдиков Искандер, Набережный Челны)

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	2
Название	Экстремальные точки треугольника
Тема	Экстремальные точки треугольника
задача
Номер	11.022