Задача 57504

Тема:    [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что AO sin BOC + BO sin AOC + CO sin AOB p.

Решение

Возьмем на лучах OB и OC такие точки C₁ и B₁, что OC₁ = OC и OB₁ = OB. Пусть B₂ и C₂ — проекции точек B₁ и C₁ на прямую, перпендикулярную AO. Тогда  BO sin AOC + CO sin AOB = B₂C₂ BC. Сложив три аналогичных неравенства, получим требуемое. Легко проверить также, что условие  B₁C₁ AO, C₁A₁ BO и  A₁B₁ CO эквивалентно тому, что O — точка пересечения биссектрис.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	13
Название	Неравенства в треугольниках
Тема	Неравенства для элементов треугольника (прочее)
задача
Номер	10.092