Информация о задаче

Задача 57493

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 4+
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c остроугольный тогда и только тогда, когда a² + b² + c² > 8R².

Решение

Так как cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ + 2 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ = 1 (задача 12.39, б)), то треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ < 1, т. е. sin² $\alpha$ + sin² $\beta$ + sin² $\gamma$ > 2. Домножая обе части последнего неравенства на 4R², получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.081