Условие
Пусть
h — наибольшая высота нетупоугольного
треугольника. Докажите, что
r +
R
h.
Решение
Пусть
90
o

.
Тогда
CH — наибольшая высота. Центры вписанной и описанной
окружностей обозначим через
I и
O, точки касания вписанной
окружности со сторонами
BC,
CA,
AB — через
K,
L,
M соответственно
(рис.).
Докажем сначала, что точка
O лежит внутри треугольника
KCI. Для
этого достаточно доказать, что
CK
KB и
BCO
BCI.
Ясно, что
CK =
rctg(

/2)
rctg(

/2) =
KB и
2
BCO = 180
o -
BOC = 180
o - 2

180
o -

-

=

= 2
BCI. Так как
BCO = 90
o -

=
ACH, при симметрии относительно
CI
прямая
CO переходит в прямую
CH. Пусть
O' — образ точки
O
при этой симметрии,
P — точка пересечения
CH и
IL.
Тогда
CP
CO' =
CO =
R. Остается доказать, что
PH
IM =
r. Это
следует из того, что
MIL = 180
o -

90
o.
Источники и прецеденты использования