Информация о задаче

Задача 57491

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 5+
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R $\leq$ h.

Решение

Пусть 90^o $\geq$ $\alpha$ $\geq$ $\beta$ $\geq$ $\gamma$ . Тогда CH — наибольшая высота. Центры вписанной и описанной окружностей обозначим через I и O, точки касания вписанной окружности со сторонами BC, CA, AB — через K, L, M соответственно (рис.).
Докажем сначала, что точка O лежит внутри треугольника KCI. Для этого достаточно доказать, что CK $\geq$ KB и $\angle$ BCO $\leq$ BCI. Ясно, что CK = rctg( $\gamma$ /2) $\geq$ rctg( $\beta$ /2) = KB и 2 $\angle$ BCO = 180^o - $\angle$ BOC = 180^o - 2 $\alpha$ $\leq$ 180^o - $\alpha$ - $\beta$ = $\gamma$ = 2 $\angle$ BCI. Так как $\angle$ BCO = 90^o - $\alpha$ = $\angle$ ACH, при симметрии относительно CI прямая CO переходит в прямую CH. Пусть O' — образ точки O при этой симметрии, P — точка пересечения CH и IL. Тогда CP $\geq$ CO' = CO = R. Остается доказать, что PH $\geq$ IM = r. Это следует из того, что $\angle$ MIL = 180^o - $\alpha$ $\geq$ 90^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.079