Информация о задаче

Задача 57483

Тема:

[

Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников

]

Сложность: 4+
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что c/r $\geq$ 2(1 + $\sqrt{2}$ ).

Решение

Ясно, что a + b $\geq$ 2 $\sqrt{ab}$ и c² = a² + b² $\geq$ 2ab. Поэтому

$\displaystyle {\frac{c^2}{r^2}}$ = $\displaystyle {\frac{(a+b+c)^2c^2}{a^2b^2}}$ $\displaystyle \geq$ $\displaystyle {\frac{(2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab})^2\cdot 2ab}{a^2b^2}}$ = 4(1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ )².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	11
Название	Неравенства для прямоугольных треугольников
Тема	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников
задача
Номер	10.072