Задача 57476

Тема:    [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]

Сложность: 4+ Классы: 8

Условие

Внутри сектора AOB круга радиуса R = AO = BO лежит отрезок MN. Докажите, что MN R или MN AB. (Предполагается, что  AOB < 180^o.)

Решение

Отрезок можно продолжить до пересечения с границей сектора, так как при этом его длина только увеличится. Поэтому можно считать, что точки M и N лежат на границе сектора. Возможны три случая.
1. Точки M и N лежат на дуге окружности. Тогда  MN = 2R sin(MON/2) 2R sin(AOB/2) = AB, так как  MON/2 AOB/2 90^o.
2. Точки M и N лежат на отрезках AO и BO. Тогда MN не превосходит наибольшей стороны треугольника AOB.
3. Одна из точек M и N лежит на дуге окружности, а другая — на отрезке AO или BO. Пусть для определенности M лежит на AO, а N — на дуге окружности. Тогда MN не превосходит наибольшей стороны треугольника ANO. Остается заметить, что AO = NO = R и AN AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	10
Название	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
Тема	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
задача
Номер	10.065