Информация о задаче

Задача 57466

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 7
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c и a', b', c' — длины сторон треугольников ABC и A'B'C', S и S' — их площади. Докажите, что

a²(- a'² + b'² + c'²) + b²(a'² - b'² + c'²) + c²(a'² + b'² - c'²) $\displaystyle \ge$ 16SS',

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны (Пидо).

Решение

Построим на стороне BC треугольника ABC внутренним образом треугольник A''BC, подобный треугольнику A'B'C'. При этом A''A = 0 тогда и только тогда, когда треугольники ABC и A'B'C' подобны. По теореме косинусов

A''A²	= AC² + A''C² - 2AC^.A''C cos(C - C') =
	= b² + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b'a}{a'}}\right.$ $\displaystyle {\frac{b'a}{a'}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b'a}{a'}}\right)^{2}_{}$ - 2 $\displaystyle {\frac{bb'a}{a'}}$ cos(C - C').

Поэтому

a'²A''A²	= b²a'² - a²b'² - 2aa'bb'cos C cos C' - 2aa'bb'sin C sin C' =
	= b²a'² - a²b'² - 2aa'bb'cos C cos C' - 8SS'.

Следовательно, b²a'² - a²b'² - 2aa'bb'cos C cos C' $\ge$ 8SS', т.е.

b²a'² - a²b'² - $\displaystyle {\frac{(b^2+a^2-c^2)({b'}^2+{a'}^2-{c'}^2)}{2}}$ $\displaystyle \ge$ 8SS'.

Это неравенство легко приводится к требуемому виду.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	8
Название	Неравенства для площади треугольника
Тема	Неравенства для площади треугольника
задача
Номер	10.055B