Задача 57399

Тема:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.

Решение

Возьмем на ломаной две точки A и B, делящие ее периметр пополам. Тогда  AB 1/2. Докажем, что все точки ломаной лежат внутри круга радиуса 1/4 с центром в середине O отрезка AB. Пусть M — произвольная точка ломаной, а точка M₁ симметрична ей относительно точки O. Тогда  MO = M₁M/2 (M₁A + AM)/2 = (BM + AM)/2 1/4, так как BM + AM не превосходит половины длины ломаной.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	11
Название	Разные задачи
Тема	Геометрические неравенства (прочее)
задача
Номер	09.091