Информация о задаче

Задача 57391

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри правильного многоугольника A₁...A_n взята точка O. Докажите, что по крайней мере один из углов A_iOA_j удовлетворяет неравенствам $\pi$ (1 - 1/n) $\leq$ $\angle$ A_iOA_j $\leq$ $\pi$ .

Решение

Пусть A₁ — ближайшая к O вершина многоугольника. Разобьем многоугольник на треугольники диагоналями, проходящими через вершину A₁. Точка O окажется в одном из этих треугольников, например в треугольнике A₁A_kA_{k + 1}. Если точка O попадет на сторону A₁A_k, то $\angle$ A₁OA_k = $\pi$ , и задача решена. Поэтому будем считать, что точка O лежит строго внутри треугольника A₁A_kA_{k + 1}. Так как A₁O $\leq$ A_kO и A₁O $\leq$ A_{k + 1}O, то $\angle$ A₁A_kO $\leq$ A_kA₁O и $\angle$ A₁A_{k + 1}O $\leq$ $\angle$ A_{k + 1}A₁O. Следовательно $\angle$ A_kOA₁ + $\angle$ A_{k + 1}OA₁ = ( $\pi$ - $\angle$ OA₁A_k - $\angle$ OA_kA₁) + ( $\pi$ - $\angle$ OA₁A_{k + 1} - $\angle$ OA_{k + 1}A₁) $\geq$ 2 $\pi$ - 2 $\angle$ OA₁A_k - 2 $\angle$ OA₁A_{k + 1} = 2 $\pi$ - 2 $\angle$ A_kA₁A_{k + 1} = 2 $\pi$ - ${\frac{2\pi}{n}}$ , т. е. один из углов A_kOA₁ и A_{k + 1}OA₁ не меньше $\pi$ $\left(\vphantom{1-\frac 1n}\right.$ 1 - ${\frac{1}{n}}$ $\left.\vphantom{1-\frac 1n}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.084