Информация о задаче

Задача 57389

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого многоугольника A₁...A_n взята точка O. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине A_k, x_k = OA_k, d_k — расстояние от точки O до прямой A_kA_{k + 1}. Докажите, что $\sum$ x_ksin( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ $\sum$ d_k и $\sum$ x_kcos( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ p, где p — полупериметр многоугольника.

Решение

Пусть $\beta_{k}^{}$ = $\angle$ OA_kA_{k + 1}. Тогда x_ksin $\beta_{k}^{}$ = d_k = x_{k + 1}sin( $\alpha_{k+1}^{}$ - $\beta_{k+1}^{}$ ). Поэтому 2 $\sum$ d_k = $\sum$ x_k(sin( $\alpha_{k}^{}$ - $\beta_{k}^{}$ ) + sin $\beta_{k}^{}$ ) = 2 $\sum$ x_ksin( $\alpha_{k}^{}$ /2)cos( $\alpha_{k}^{}$ /2 - $\beta_{k}^{}$ ) $\leq$ 2 $\sum$ x_ksin( $\alpha_{k}^{}$ /2).
Ясно также, что A_kA_{k + 1} = x_kcos $\beta_{k}^{}$ + x_{k + 1}cos( $\alpha_{k+1}^{}$ - $\beta_{k+1}^{}$ ). Поэтому 2p = $\sum$ A_kA_{k + 1} = $\sum$ x_k(cos( $\alpha_{k}^{}$ - $\beta_{k}^{}$ ) + cos $\beta_{k}^{}$ ) = 2 $\sum$ x_kcos( $\alpha_{k}^{}$ /2)cos( $\alpha_{k}^{}$ /2 - $\beta_{k}^{}$ ) $\leq$ 2 $\sum$ x_kcos( $\alpha_{k}^{}$ /2).
В обоих случаях равенство достигается, только если $\alpha_{k}^{}$ = 2 $\beta_{k}^{}$ , т. е. O — центр вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.082