ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57378
Тема:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Отрезок KL проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а концы его лежат на сторонах AB и CD. Докажите, что длина отрезка KL не превосходит длины одной из диагоналей.

Решение

Проведем через концы отрезка KL прямые, ему перпендикулярные, и рассмотрим проекции на них вершин четырехугольника, а также точки пересечения с ними прямых AC и BD (рис.). Пусть для определенности точка A лежит внутри полосы, заданной этими прямыми, а точка B — вне ее. Тогда можно считать, что D лежит внутри полосы, так как иначе BD > KL, и доказательство завершено. Так как

$\displaystyle {\frac{AA'}{BB'}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{A_1K}{B_1K}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1L}{D_1L}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{CC'}{DD'}}$,

то либо  AA' $ \leq$ CC' (и тогда AC > KL), либо  BB' $ \geq$ DD' (и тогда BD > KL).



Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 9
Название Четырехугольник
Тема Четырехугольник (неравенства)
задача
Номер 09.072

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .