Задача 57376

Тема:    [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Диагонали делят выпуклый четырехугольник ABCD на четыре треугольника. Пусть P — периметр четырехугольника ABCD, Q — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что  PQ > 4S_ABCD.

Решение

Пусть r_i, S_i и p_i — радиусы вписанных окружностей, площади и полупериметры полученных треугольников. Тогда  Q 2r_i = 2(S_i/p_i) > 4(S_i/P) = 4S/P.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	9
Название	Четырехугольник
Тема	Четырехугольник (неравенства)
задача
Номер	09.070