Задача 57357

Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P.
б) Внутри выпуклого многоугольника площади S₁ и периметра P₁ расположен выпуклый многоугольник площади S₂ и периметра P₂. Докажите, что  2S₁/P₁ > S₂/P₂.

Решение

а) Построим на сторонах многоугольника внутренним образом прямоугольники со второй стороной R = S/P. Они покроют не весь многоугольник (эти прямоугольники перекрываются и могут вылезать за его пределы, а сумма их площадей равна площади многоугольника). Непокрытая точка удалена ото всех сторон многоугольника больше, чем на R, поэтому круг радиуса R с центром в этой точке целиком лежит внутри многоугольника.
б) Из задачи а) следует, что во внутренний многоугольник можно поместить круг радиуса S₂/P₂. Ясно, что этот круг лежит внутри внешнего многоугольника. Остается доказать, что если внутри многоугольника лежит круг радиуса R, то  R 2S/P. Для этого соединим центр O круга с вершинами. Тогда многоугольник разобьется на треугольники с площадями h_ia_i/2, где h_i — расстояние от точки O до i-й стороны, а a_i — длина i-й стороны. Так как h_i R, то  2S = h_ia_i Ra_i = RP.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	7
Название	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер	09.051