Информация о задаче

Задача 57341

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки M и N лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырехугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.

Решение

Нужно доказать, что S_ABC/S_AMN $\geq$ 4. Так как AB = AM + MB = AM + AN = AN + NC = AC, то

$\displaystyle {\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}}$ = $\displaystyle {\frac{AB\cdot AC}{AM\cdot AN}}$ = $\displaystyle {\frac{(AM+AN)^2}{AM\cdot AN}}$ $\displaystyle \geq$ 4.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.036