Условие
a,
b и
c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
a2b(
a -
b) +
b2c(
b -
c) +
c2a(
c -
a)
0.
Решение
Введем новые переменные
x = (-
a +
b +
c)/2,
y = (
a -
b +
c)/2
и
z = (
a +
b -
c)/2. Тогда числа
x,
y,
z положительны и
a =
y +
z,
b =
x +
z,
c =
x +
y. Несложные, но несколько громоздкие вычисления показывают,
что
a2b(
a -
b) +
b2c(
b -
c) +
c2a(
c-
a) = 2(
x3z +
y3x +
z3y -
xyz(
x +
y +
z)) = 2
xyz +
+
-
x -
y -
z. Так
как
2
+
, то
2
x x +
=
+
y. Аналогично
2
y y +
=
+
z и
2
z z +
=
+
x. Складывая эти неравенства, получаем
+
+
x +
y +
z.
Источники и прецеденты использования