ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57317
Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 5+
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a) $\displaystyle \geq$ 0.


Решение

Введем новые переменные  x = (- a + b + c)/2, y = (a - b + c)/2 и  z = (a + b - c)/2. Тогда числа x, y, z положительны и  a = y + z, b = x + z, c = x + y. Несложные, но несколько громоздкие вычисления показывают, что  a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c-a) = 2(x3z + y3x + z3y - xyz(x + y + z)) = 2xyz$ \Bigl($$ {\frac{x^2}{y}}$ + $ {\frac{y^2}{z}}$ + $ {\frac{z^2}{x}}$ - x - y - z$ \Bigr)$. Так как  2 $ \leq$ $ {\frac{x}{y}}$ + $ {\frac{y}{x}}$, то  2x $ \leq$ x$ \left(\vphantom{\frac xy+
\frac yx}\right.$$ {\frac{x}{y}}$ + $ {\frac{y}{x}}$$ \left.\vphantom{\frac xy+
\frac yx}\right)$ = $ {\frac{x^2}{y}}$ + y. Аналогично  2y $ \leq$ y$ \left(\vphantom{\frac yz+
\frac zy}\right.$$ {\frac{y}{z}}$ + $ {\frac{z}{y}}$$ \left.\vphantom{\frac yz+
\frac zy}\right)$ = $ {\frac{y^2}{z}}$ + z и  2z $ \leq$ z$ \left(\vphantom{\frac zx+
\frac xz}\right.$$ {\frac{z}{x}}$ + $ {\frac{x}{z}}$$ \left.\vphantom{\frac zx+
\frac xz}\right)$ = $ {\frac{z^2}{x}}$ + x. Складывая эти неравенства, получаем  $ {\frac{x^2}{y}}$ + $ {\frac{y^2}{z}}$ + $ {\frac{z^2}{x}}$ $ \geq$ x + y + z.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 2
Название Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер 09.013

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .