Задача 57312

Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a(b - c)² + b(c - a)² + c(a - b)² + 4abc > a³ + b³ + c³.

Решение

Так как  c(a - b)² + 4abc = c(a + b)², то  a(b - c)² + b(c - a)² + c(a - b)² + 4abc - a³ - b³ - c³ = a((b - c)² - a²) + b((c - a)² - b²) + c((a + b)² - c²) = (a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c). (Последнее равенство проверяется простым вычислением.) Все три сомножителя положительны в силу неравенства треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	2
Название	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер	09.009