Информация о задаче

Задача 57311

Тема:

[

Алгебраические задачи на неравенство треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

При любом натуральном n из чисел aⁿ, bⁿ и cⁿ можно составить треугольник. Докажите, что среди чисел a, b и c есть два равных.

Решение

Можно считать, что a $\geq$ b $\geq$ c. Докажем, что a = b. В самом деле, если b < a, то b $\leq$ $\lambda$ a и c $\leq$ $\lambda$ a, где $\lambda$ < 1. Поэтому bⁿ + cⁿ $\leq$ 2 $\lambda^{n}_{}$ aⁿ. При достаточно большом n имеем 2 $\lambda^{n}_{}$ < 1 и получаем противоречие с неравенством треугольника.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	2
Название	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер	09.008