Задача 57305

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.

Решение

Из предыдущей задачи следует  m_a < (b + c)/2, m_b < (a + c)/2 и  m_c < (a + b)/2, поэтому сумма длин медиан меньше периметра.
Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  BO + OA > BA, AO + OC > AC и CO + OB > CB. Складывая эти неравенства и учитывая, что  AO = 2m_a/3, BO = 2m_b/3, CO = 2m_c/3, получаем  m_a + m_b + m_c > 3(a + b + c)/4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	1
Название	Медиана треугольника
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	09.002