В треугольнике ABC угол C равен 60^o, а биссектриса угла C равна 5. Длины сторон AC и BC относятся как 5:2 соответственно. Найдите тангенс угла A и сторону BC.

   Решение

На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взяты соответственно точки E и F, причём отрезок EF параллелен диагонали BD. Докажите, что площади треугольников BCE и CDF равны.

   Решение

Равнобедренная трапеция, у которой угол при основании равен 60^o, описана около окружности. В каком отношении прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами, делит площадь трапеции.

   Решение

В треугольнике ABC угол A равен 45^o, а угол C — острый. Из середины стороны BC опущен перпендикуляр NM на сторону AC. Площади треугольников NMC и ABC относятся, как 1:8. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся гипотенузы $AB$ в точке $T$. Квадраты $ATMP$ и $BTNQ$ лежат вне треугольника. Докажите, что площади треугольников $ABC$ и $TPQ$ равны.

   Решение

Тема:    [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Впишите в данный треугольник ABC прямоугольник PQRS (вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S — на стороне AC) так, чтобы его диагональ имела данную длину.

Решение

Пусть точка B' лежит на прямой l, проходящей через точку B параллельно AC. Стороны треугольников ABC и AB'C высекают на прямой, параллельной AC, равные отрезки. Поэтому прямоугольники P'R'Q'S' и PRQS, вписанные в треугольники ABC и AB'C соответственно, равны, если точки R, Q, R' и Q' лежат на одной прямой.
Возьмем точку B' на прямой l так, что  B'AC = 90^o. В треугольник AB'C прямоугольник P'R'Q'S' с данной диагональю P'Q' вписывается очевидным образом (P' = A). Проведя прямую R'Q', находим вершины R и Q искомого прямоугольника.

Источники и прецеденты использования