Задача 57220

Тема:    [ Построение треугольников по различным точкам ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9

Условие

Потроить треугольник по A, высоте к стороне a h_a и полупериметру p.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть S₁ — вневписанная окружность, касающаяся стороны BC. Обозначим точки касания окружности S₁ с продолжениями сторон AB и AC через K и L, а точку касания S₁ со стороной BC обозначим через M. Так как  AK = AL, AL = AC + CM и AK = AB + BM, то AK = AL = p. Пусть S₂ — окружность радиуса h_a с центром A. Прямая BC является общей внутренней касательной к окружностям S₁ и S₂.
Из этого вытекает следующее построение. Строим угол KAL, равный по величине углу A, так, что KA = LA = p. Строим окружность S₁, касающуюся сторон угла KAL в точках K и L, и окружность S₂ радиуса h_a с центром в точке A. Затем проводим общую внутреннюю касательную к окружностям S₁ и S₂. Точки пересечения этой касательной со сторонами угла KAL являются вершинами B и C искомого треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	4
Название	Построение треугольников по различным элементам
Тема	Построение треугольников по различным точкам
задача
Номер	08.026