Условие
На плоскости даны четыре точки. Найдите множество
центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми,
проходящими соответственно через данные точки.
Решение
Предположим, что точки
A и
C лежат на противоположных
сторонах прямоугольника. Пусть
M и
N — середины отрезков
AC
и
BD соответственно. Проведем через точку
M прямую
l1,
параллельную сторонам прямоугольника, на которых лежат точки
A и
C,
а через точку
N прямую
l2, параллельную сторонам прямоугольника,
на которых лежат точки
B и
D. Пусть
O — точка пересечения
прямых
l1 и
l2. Ясно, что точка
O лежит на окружности
S,
построенной на отрезке
MN как на диаметре. С другой стороны,
точка
O является центром прямоугольника. Ясно, что прямоугольник
можно построить для любой точки
O, лежащей на окружности
S.
Остается заметить, что на противоположных сторонах прямоугольника
могут лежать также точки
A и
B,
A и
D. Поэтому
искомым ГМТ является объединение трех окружностей.
Источники и прецеденты использования
