Информация о задаче

Задача 57133

Тема:

[

ГМТ - прямая или отрезок

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что $\angle$ AMD + $\angle$ BMC = 180^o.

Решение

Пусть N — такая точка, что $\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{DA}$ . Тогда $\angle$ NAM = $\angle$ DMA и $\angle$ NBM = $\angle$ BMC, поэтому четырехугольник AMBN вписанный. Диагонали вписанного четырехугольника AMBN равны, поэтому AM| BN или BM| AN. В первом случае $\angle$ AMD = $\angle$ MAN = $\angle$ AMB, а во втором случае $\angle$ BMC = $\angle$ MBN = $\angle$ BMA. Если $\angle$ AMB = $\angle$ AMD, то $\angle$ AMB + $\angle$ BMC = 180^o и точка M лежит на диагонали AC, а если $\angle$ BMA = $\angle$ BMC, то точка M лежит на диагонали BD. Ясно также, что если точка M лежит на одной из диагоналей, то $\angle$ AMD + $\angle$ BMC = 180^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	1
Название	ГМТ - прямая или отрезок
Тема	ГМТ - прямая или отрезок
задача
Номер	07.005