ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57105
Темы:    [ Теорема Паскаля ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10
Название задачи: Теорема Паскаля.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

Пусть прямые AB и DE пересекаются в точке G, BC и EF в точке H, CD и FA в точке K. Пусть, далее, X и Y — точки пересечения описанной окружности треугольника EBH с прямыми AB и DE. Покажем, что соответственные стороны треугольников ADK и XYH параллельны. (Из этого следует, что прямая KH проходит через точку G.)
Из равенств $ \angle$(YX, AB) = $ \angle$(YX, XB) = $ \angle$(YE, EB) = $ \angle$(DE, EB) = $ \angle$(DA, AB) следует, что AD| XY. После этого из равенств $ \angle$(XY, YH) = $ \angle$(XB, BH) = $ \angle$(AB, BC) = $ \angle$(AD, DC) = $ \angle$(AD, DK) следует, что DK| YH, а из равенств $ \angle$(YH, XH) = $ \angle$(YE, EH) = $ \angle$(DE, EF) = $ \angle$(DA, AF) = $ \angle$(DA, AK) следует, что AK| XH.
Отметим, что мы нигде не пользовались тем, что шестиугольник ABCDEF выпуклый; вместо шестиугольника можно взять самопересекающуюся шестизвенную ломаную с вершинами на окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 9
Название Теорема Паскаля
Тема Теорема Паскаля
задача
Номер 06.092

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .