ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57103
Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 5+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины?
Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

Решение

Пример пятиугольника, удовлетворяющего условию задачи, приведен на рис. Поясним, как он устроен. Возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник EAB, проведем серединные перпендикуляры к сторонам EA, AB и на них построим точки C и D так, что ED = BC = AB (т. е. прямые BC и ED образуют с соответствующими серединными перпендикулярами углы в  30o). Ясно, что  DE = BC = AB = EA < EB < DC и  DB = DA = CA = CE > EB.
Докажем теперь, что пятая сторона и пятая диагональ не могут иметь общей точки. Предположим, что пятая сторона AB имеет общую точку A с пятой диагональю. Тогда пятая диагональ — это AC или AD. Разберем эти два случая.
В первом случае  $ \triangle$AED = $ \triangle$CDE, поэтому при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку ED точка A переходит в точку C. Точка B при этой симметрии остается на месте, так как BE = BD. Поэтому отрезок AB переходит в CB, т. е. AB = CB. Получено противоречие.
Во втором случае  $ \triangle$ACE = $ \triangle$EBD, поэтому при симметрии относительно биссектрисы угла AED отрезок AB переходит в DC, т. е. AB = CD. Получено противоречие.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 8
Название Произвольные выпуклые многоугольники
Тема Выпуклые многоугольники
задача
Номер 06.090

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .