Задача 57091

Тема:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

В окружность вписан 2n-угольник  A₁...A_2n. Пусть  p₁,..., p_2n — расстояния от произвольной точки M окружности до сторон  A₁A₂, A₂A₃,..., A_2nA₁. Докажите, что  p₁p₃...p_{2n - 1} = p₂p₄...p_2n.

Решение

В любом треугольнике выполнено соотношение h_c = ab/2R (задача 12.33), поэтому  p_k = MA_k ^. MA_{k + 1}/2R. Следовательно,

p₁p₃...p_{2n - 1} = MA₁ ^. MA₂...MA_2n/(2R)ⁿ = p₂p₄...p_2n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	7
Название	Вписанные и описанные многоугольники
Тема	Вписанные и описанные многоугольники
задача
Номер	06.078