Задача 57090

Тема:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?

Решение

Предположим, что на сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABB₁A₁, BCC₂B₂, ACC₃A₃ и вершины A₁, B₁, B₂, C₂, C₃, A₃ лежат на одной окружности S. Серединные перпендикуляры к отрезкам A₁B₁, B₂C₂, A₃C₃ проходят через центр окружности S. Ясно, что серединные перпендикуляры к отрезкам A₁B₁, B₂C₂, A₃C₃ совпадают с серединными перпендикулярами к сторонам треугольника ABC, поэтому центр окружности S совпадает с центром описанной окружности треугольника.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O. Расстояние от точки O до прямой B₂C₂ равно  R cos A + 2R sin A, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Поэтому  OB₂² = (R sin A)² + (R cos A+2R sin A)² = R²(3 + 2(sin 2A - cos 2A)) = R²(3 - 2cos(45^o + 2A)). Ясно, что для того, чтобы треугольник обладал требуемым свойством, необходимо и достаточно, чтобы  OB₂² = OC₃² = OA₁², т. е.  cos(45^o + 2A) = cos(45^o + 2B) = cos(45^o+2C). Это равенство выполняется при A = B = C = 60^o. Если же AB, то (45^o + 2A) + (45^o + 2B) = 360^o, т. е. A + B = 135^o. Тогда C = 45^o и A = C = 45^o, B = 90^o (или B = 45^o,A = 90^o). Мы видим, что треугольник должен быть либо равносторонним, либо равнобедренным прямоугольным.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	7
Название	Вписанные и описанные многоугольники
Тема	Вписанные и описанные многоугольники
задача
Номер	06.077