Условие
Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике
каждый из трех отрезков, соединяющих середины противоположных
сторон, делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются в одной
точке.
Решение
Обозначим середины сторон выпуклого
шестиугольника
ABCDEF так, как показано на рис. Пусть
O —
точка пересечения отрезков
KM и
LN. Площади треугольников, на
которые делят шестиугольник отрезки, соединяющие точку
O с вершинами
и серединами сторон, обозначим так, как показано на том же рисунке.
Легко проверить, что
SKONF =
SLOMC, т. е.
a +
f =
c +
d.
Следовательно, ломаная
POQ делит шестиугольник на две части равной
площади, а значит, отрезок
PQ проходит через точку
O.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
6 |
|
Название |
Многоугольники |
|
Тема |
Многоугольники |
|
параграф |
|
Номер |
5 |
|
Название |
Шестиугольники |
|
Тема |
Шестиугольники |
|
задача |
|
Номер |
06.052 |
