Условие
Пусть $\alpha =\frac{\pi}{7}$. Докажите,
что $\frac{1}{\sin\alpha }=\frac{1}{\sin 2\alpha }+\frac{1}{\sin
3\alpha }$.
Решение
Пусть правильный семиугольник $A_1\dots A_7$ вписан в окружность. Применяя теорему Птолемея к четырёхугольнику $A_1A_3A_4A_5$, получаем
$$A_1A_3\cdot A_5A_4+A_3A_4\cdot A_1A_5=A_1A_4\cdot A_3A_5,$$
т. е.
$$\sin2\alpha \cdot \sin\alpha +\sin\alpha \cdot \sin3\alpha =\sin3\alpha \cdot \sin2\alpha.$$
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
6 |
|
Название |
Многоугольники |
|
Тема |
Многоугольники |
|
параграф |
|
Номер |
3 |
|
Название |
Теорема Птолемея |
|
Тема |
Теорема Птолемея |
|
задача |
|
Номер |
06.036 |
