Условие
Дан выпуклый четырехугольник
ABCD;
A1,
B1,
C1
и
D1 — центры описанных окружностей треугольников
BCD,
CDA,
DAB
и
ABC. Аналогично для четырехугольника
A1B1C1D1 определяются
точки
A2,
B2,
C2 и
D2. Докажите, что четырехугольники
ABCD
и
A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен
|(
ctgA +
ctgC)(
ctgB +
ctgD)/4|.
Решение
Точки
C1 и
D1 лежат на серединном перпендикуляре
к отрезку
AB, поэтому
AB 
C1D1. Аналогично
C1D1 A2B2, а значит,
AB|
A2B2. Аналогично доказывается, что
параллельны и остальные соответственные стороны и диагонали
четырехугольников
ABCD и
A2B2C2D2. Следовательно, эти
четырехугольники подобны.
Пусть
M — середина отрезка
AC. Тогда
B1M = |
AMctgD|
и
D1M = |
AMctgB|, причем
B1D1 = |
ctgB +
ctgD|
. AC/2. Повернем
четырехугольник
A1B1C1D1 на
90
o. Тогда, воспользовавшись
результатом задачи
6.25, получим, что этот четырехугольник выпуклый,
причем
ctgA = -
ctgC1 и т. д. Поэтому
A2C2 = |
ctgA+
ctgC|
. B1D1/2 = |(
ctgA+
ctgC)(
ctgB+
ctgD)/4|
. AC.
Источники и прецеденты использования
