Задача 57041

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники  ABC, BCD, CDA и DAB, равны между собой. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Решение

Достроим треугольники ABD и DBC до параллелограммов ABDA₁ и DBCC₁. Отрезки, соединяющие точку D с вершинами параллелограмма ACC₁A₁, делят его на четыре треугольника, равных треугольникам  DAB, CDA, BCD и ABC, поэтому радиусы вписанных окружностей этих треугольников равны. Докажем, что точка D совпадает с точкой O пересечения диагоналей параллелограмма. Если D 0, то можно считать, что точка D лежит внутри треугольника AOC. Тогда r_ADC < r_AOC = r_A1OC1 < r_A1DC1 = r_ABC (см. задачу 10.86). Получено противоречие, поэтому D = O.
Так как p = S/r, а площади и радиусы вписанных окружностей треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм ACC₁A₁, равны, то равны и их периметры. Поэтому ACC₁A₁ — ромб, a ABCD — прямоугольник.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.030