Задача 57031

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

На сторонах BC и AD четырехугольника ABCD взяты точки M и N так, что  BM : MC = AN : ND = AB : CD. Лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла AOD.

Решение

Достроим треугольники ABM и DCM до параллелограммов ABMM₁ и DCMM₂. Так как  AM₁ : DM₂ = BM : MC = AN : DN, то  ANM₁ DNM₂. Поэтому точка N лежит на отрезке M₁M₂ и  MM₁ : MM₂ = AB : CD = AN : ND = M₁N : M₂N, т. е. MN — биссектриса угла M₁MM₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.020