ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57008
Тема:    [ Многоугольники (прочее) ]
Сложность: 2-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что сумма углов при вершинах выпуклого n-угольника равна  (n - 2) . 180o.
б) Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что количество этих треугольников равно n - 2.

Решение

а) Диагонали выпуклого многоугольника лежат внутри него, поэтому, отметив одну из вершин многоугольника и соединив её со всеми остальными, получим разбиение многоугольника на треугольники. Всего мы провели $n-3$ диагонали (по одной во все точки, кроме отмеченной и её соседей), значит, получили $n-2$ треугольника. Остаётся заметить, что сумма углов многоугольника складывается в точности из всех углов полученных треугольников, а их сумма равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

б) Поскольку многоугольник разбит на треугольники, его сумма углов равна сумме углов треугольников независимо от способа разбиения. Сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$, значит, всего их $(n-2) \cdot 180^\circ : 180^\circ = n-2$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 0
Название Вводные задачи
Тема Многоугольники (прочее)
задача
Номер 06.000.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .