ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56975
Темы:    [ Точки Брокара ]
[ Выпуклость и вогнутость ]
Сложность: 7+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для угла Брокара $ \varphi$ выполняются следующие неравенства:
а) $ \varphi^{3}_{}$$ \le$($ \alpha$ - $ \varphi$)($ \beta$ - $ \varphi$)($ \gamma$ - $ \varphi$);
б) 8$ \varphi^{3}_{}$$ \le$$ \alpha$$ \beta$$ \gamma$ (неравенство Йиффа).

Решение

а) Рассмотрим функцию f (x) = ln(x/sin x) = ln x - lnsin x. Ясно, что функции

f'(x) = $\displaystyle {\frac{1}{x}}$ - ctgx    и    f''(x) = $\displaystyle {\frac{1}{\sin^2x}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{x^2}}$

положительны при 0 < x < $ \pi$. Следовательно, функция f (x) монотонно возрастает при возрастании x от 0 до $ \pi$ и, кроме того, выпукла на этом отрезке, т. е.

f ($\displaystyle \lambda_{1}^{}$x1 + ... + $\displaystyle \lambda_{n}^{}$xn)$\displaystyle \le$$\displaystyle \lambda_{1}^{}$f (x1) + ... + $\displaystyle \lambda_{n}^{}$f (xn)

при 0$ \le$xi$ \le$$ \pi$, 0$ \le$$ \lambda_{i}^{}$, $ \lambda_{1}^{}$ +...+ $ \lambda_{n}^{}$ = 1. В частности, f ($ \varphi$)$ \le$f ($ \pi$/6), так как $ \varphi$$ \le$$ \pi$/6, и

\begin{multline*}
f(\pi/6)=f\left( \frac{\varphi+(\alpha -\varphi )
+\varphi+...
...i )+f(\beta -\varphi )+f(\varphi )+
f(\gamma -\varphi )\bigr).
\end{multline*}

Воспользовавшись монотонностью логарифма, эти неравенства можно переписать следующим образом:

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac\varphi{\sin\varphi}}\right.$$\displaystyle {\frac{\varphi}{\sin\varphi}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac\varphi{\sin\varphi}}\right)^{6}_{}$$\displaystyle \le$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi /6}{\sin (\pi /6)}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi /6}{\sin (\pi /6)}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi /6}{\sin (\pi /6)}}\right)^{6}_{}$$\displaystyle \le$$\displaystyle {\frac{\varphi^3(\alpha -\varphi )(\beta -\varphi )(\gamma -\varp...
...^3\varphi\sin (\alpha -\varphi )\sin (\beta -\varphi )\sin (\gamma -\varphi )}}$.

Учитывая, что sin($ \alpha$ - $ \varphi$)sin($ \beta$ - $ \varphi$)sin($ \gamma$ - $ \varphi$) = sin3$ \varphi$, получаем

$\displaystyle \varphi^{3}_{}$$\displaystyle \le$($\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \varphi$)($\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \varphi$)($\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \varphi$).


б) Из неравенства $ \varphi^{3}_{}$$ \le$($ \alpha$ - $ \varphi$)($ \beta$ - $ \varphi$)($ \gamma$ - $ \varphi$) следует, что

64$\displaystyle \varphi^{6}_{}$$\displaystyle \le$43$\displaystyle \varphi$($\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \varphi$)$\displaystyle \varphi$($\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \varphi$)$\displaystyle \varphi$($\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \varphi$).

Ясно также, что

4$\displaystyle \varphi$($\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \varphi$)$\displaystyle \le$$\displaystyle \alpha^{2}_{}$,    4$\displaystyle \varphi$($\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \varphi$)$\displaystyle \le$$\displaystyle \beta^{2}_{}$,    4$\displaystyle \varphi$($\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \varphi$)$\displaystyle \le$$\displaystyle \gamma^{2}_{}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 12
Название Точки Брокара
Тема Точки Брокара
задача
Номер 05.122.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .