Информация о задаче

Задача 56974

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 7
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах CA, AB и BC остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что $\angle$ AB₁A₁ = $\angle$ BC₁B₁ = $\angle$ CA₁C₁. Докажите, что $\triangle$ A₁B₁C₁ $\sim$ $\triangle$ ABC, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой Брокара обоих треугольников.

Решение

Так как $\angle$ CA₁B₁ = $\angle$ A + $\angle$ AB₁A₁ и $\angle$ AB₁A₁ = $\angle$ CA₁C₁, то $\angle$ B₁A₁C₁ = $\angle$ A. Аналогично доказывается, что равны и остальные углы треугольников ABC и A₁B₁C₁.
Описанные окружности треугольников AA₁B₁, BB₁C₁ и CC₁A₁ пересекаются в одной точке O (задача 2.80, а)). Ясно, что $\angle$ AOA₁ = $\angle$ AB₁A₁ = $\varphi$ . Аналогично $\angle$ BOB₁ = $\angle$ COC₁ = $\varphi$ . Поэтому $\angle$ AOB = $\angle$ A₁OB₁ = 180^o - $\angle$ A. Аналогично $\angle$ BOC = 180^o - $\angle$ B и $\angle$ COA = 180^o - $\angle$ C, т. е. O — первая точка Брокара обоих треугольников. Следовательно, при поворотной гомотетии на угол $\varphi$ с центром O и коэффициентом AO/A₁O треугольник A₁B₁C₁ переходит в треугольник ABC.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.122