Задача 56972

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Пусть P — точка Брокара треугольника ABC; R₁, R₂ и R₃ — радиусы описанных окружностей треугольников ABP, BCP и CAP. Докажите, что  R₁R₂R₃ = R³, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решение

По теореме синусов  R₁ = AB/2 sin APB, R₂ = BC/2 sin BPC и  R₃ = CA/2 sin CPA. Ясно также, что  sin APB = sin A, sin BPC = sin B и  sin CPA = sin C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.120