Условие
Треугольник
ABC вписан в окружность радиуса
R
с центром
O. Докажите, что площадь подерного треугольника
точки
P относительно треугольника
ABC (см. задачу
5.99)
равна
1 -
SABC, где
d =
PO.
Решение
Пусть
A1,
B1 и
C1 — основания перпендикуляров,
опущенных из точки
P на прямые
BC,
CA и
AB;
A2,
B2 и
C2 — точки пересечения прямых
PA,
PB и
PC с описанной окружностью
треугольника
ABC. Пусть далее
S,
S1 и
S2 — площади
треугольников
ABC,
A1B1C1 и
A2B2C2. Легко проверить,
что
a1 =
a . AP/2
R (задача
5.99) и
a2 =
a . B2P/
CP.
Треугольники
A1B1C1 и
A2B2C2 подобны (задача
5.100),
поэтому
S1/
S2 =
k2, где
k =
a1/
a2 =
AP . CP/(2
R . B2P). А
так как
B2P . BP = |
d2 -
R2|, то
S1/
S2 = (
AP . BP . CP)
2/4
R2(
d2 -
R2)
2. Треугольники
A2B2C2 и
ABC вписаны в
одну окружность, поэтому
S2/
S =
a2b2c2/
abc (см. задачу
12.1).
Ясно также, что, например,
a2/
a =
B2P/
CP = |
d2 -
R2|/(
BP . CP).
Следовательно,
S2 :
S = |
d2 -
R2|
3 : (
AP . BP . CP)
2.
Поэтому
S1/
S = (
S1/
S2)(
S2/
S) = |
d2 -
R2|/4
R2.
Источники и прецеденты использования
