ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56951
Тема:    [ Подерный (педальный) треугольник ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на стороны, получим  $ \triangle$A1B1C1. Проделав для него ту же операцию, получим  $ \triangle$A2B2C2, а затем  $ \triangle$A3B3C3. Докажите, что  $ \triangle$A3B3C3 $ \sim$ $ \triangle$ABC.

Решение

Ясно, что  $ \angle$C1AP = $ \angle$C1B1P = $ \angle$A2B1P = $ \angle$A2C2P = $ \angle$B3C2P = $ \angle$B3A3P (первое, третье и пятое равенства получаются из вписанности соответствующих четырехугольников; остальные равенства очевидны). Аналогично  $ \angle$B1AP = $ \angle$C3A3P. Поэтому  $ \angle$B3A3C3 = $ \angle$B3A3P + $ \angle$C3A3P = $ \angle$C1AP + $ \angle$B1AP = $ \angle$BAC. Аналогично получаются равенства остальных углов треугольников ABC и A3B3C3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 10
Название Подерный треугольник
Тема Подерный (педальный) треугольник
задача
Номер 05.101

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .