Задача 56889

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A₁, B₁ и C₁. Пусть a₁, b₁ и c₁ – длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S и S₁ – площади треугольников ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что:
  а)  
  б)   S₁ – S = ¹/₈ (a² + b² + c²).

Решение

  а) По теореме косинусов     то есть     Записывая аналогичные равенства для    и складывая их, получаем требуемое.

  б) Для остроугольного треугольника ABC, прибавив к S площади треугольников ABC₁, AB₁C и A₁BC и прибавив к S₁ площади треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, получим одинаковые величины (для треугольника с тупым углом A площадь треугольника AB₁C₁ следует взять со знаком минус). Поэтому
S₁ = S + ¼ (a² + b² + c²) – ¼ (ab cos γ + ac cos β + bc cos α).  Остаётся заметить, что
ab cos γ + ac cos β + bc cos α = 2S(ctg γ + ctg α + ctg β) = ½ (a² + b² + c²)  (см. задачу 57627, а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.053