Условие
В треугольнике
ABC проведены биссектрисы
BB1
и
CC1. Докажите, что если
CC1B1 = 30
o, то
либо
A = 60
o, либо
B = 120
o.
Решение
Так как
BB1C =
B1BA +
B1AB >
B1BA =
B1BC, то
BC >
B1C. Поэтому точка
K,
симметричная
B1 относительно биссектрисы
CC1, лежит на
стороне
BC, а не на ее продолжении. Так как
CC1B = 30
o, то
B1C1K = 60
o, а значит,
треугольник
B1C1K правильный. В треугольниках
BC1B1 и
BKB1
сторона
BB1 общая, стороны
C1B1 и
KB1 равны, равны также и
углы
C1BB1 и
KBB1 но это углы не между равными сторонами. Поэтому
возможны два случая:
1.
BC1B1 =
BKB1. Тогда
BB1C1 =
BB1K = 60
o/2 = 30
o. Следовательно, если
O — точка
пересечения биссектрис
BB1 и
CC1, то
BOC =
B1OC1 = 180
o -
OC1B1 -
OB1C1 = 120
o. С
другой стороны,
BOC = 90
o +
A/2 (см. задачу
5.3),
т. е.
A = 60
o.
2.
BC1B1 +
BKB1 = 180
o. Тогда
четырехугольник
BC1B1K вписанный, а так как треугольник
B1C1K
правильный, то
B = 180
o -
C1B1K = 120
o.
Источники и прецеденты использования