ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56870
Тема:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Докажите, что если  $ \angle$CC1B1 = 30o, то либо  $ \angle$A = 60o, либо  $ \angle$B = 120o.

Решение

Так как  $ \angle$BB1C = $ \angle$B1BA + $ \angle$B1AB > $ \angle$B1BA = $ \angle$B1BC, то BC > B1C. Поэтому точка K, симметричная B1 относительно биссектрисы CC1, лежит на стороне BC, а не на ее продолжении. Так как  $ \angle$CC1B = 30o, то  $ \angle$B1C1K = 60o, а значит, треугольник B1C1K правильный. В треугольниках BC1B1 и BKB1 сторона BB1 общая, стороны C1B1 и KB1 равны, равны также и углы C1BB1 и KBB1 но это углы не между равными сторонами. Поэтому возможны два случая:
1.  $ \triangle$BC1B1 = $ \triangle$BKB1. Тогда  $ \angle$BB1C1 = $ \angle$BB1K = 60o/2 = 30o. Следовательно, если O — точка пересечения биссектрис BB1 и CC1, то  $ \angle$BOC = $ \angle$B1OC1 = 180o - $ \angle$OC1B1 - $ \angle$OB1C1 = 120o. С другой стороны,  $ \angle$BOC = 90o + $ \angle$A/2 (см. задачу 5.3), т. е.  $ \angle$A = 60o.
2.  $ \angle$BC1B1 + $ \angle$BKB1 = 180o. Тогда четырехугольник BC1B1K вписанный, а так как треугольник B1C1K правильный, то  $ \angle$B = 180o - $ \angle$C1B1K = 120o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 4
Название Треугольники с углами 60 и 120 градусов
Тема Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер 05.035

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .