Информация о задаче

Задача 56870

Тема:

[

Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если $\angle$ CC₁B₁ = 30^o, то либо $\angle$ A = 60^o, либо $\angle$ B = 120^o.

Решение

Так как $\angle$ BB₁C = $\angle$ B₁BA + $\angle$ B₁AB > $\angle$ B₁BA = $\angle$ B₁BC, то BC > B₁C. Поэтому точка K, симметричная B₁ относительно биссектрисы CC₁, лежит на стороне BC, а не на ее продолжении. Так как $\angle$ CC₁B = 30^o, то $\angle$ B₁C₁K = 60^o, а значит, треугольник B₁C₁K правильный. В треугольниках BC₁B₁ и BKB₁ сторона BB₁ общая, стороны C₁B₁ и KB₁ равны, равны также и углы C₁BB₁ и KBB₁ но это углы не между равными сторонами. Поэтому возможны два случая:
1. $\triangle$ BC₁B₁ = $\triangle$ BKB₁. Тогда $\angle$ BB₁C₁ = $\angle$ BB₁K = 60^o/2 = 30^o. Следовательно, если O — точка пересечения биссектрис BB₁ и CC₁, то $\angle$ BOC = $\angle$ B₁OC₁ = 180^o - $\angle$ OC₁B₁ - $\angle$ OB₁C₁ = 120^o. С другой стороны, $\angle$ BOC = 90^o + $\angle$ A/2 (см. задачу 5.3), т. е. $\angle$ A = 60^o.
2. $\angle$ BC₁B₁ + $\angle$ BKB₁ = 180^o. Тогда четырехугольник BC₁B₁K вписанный, а так как треугольник B₁C₁K правильный, то $\angle$ B = 180^o - $\angle$ C₁B₁K = 120^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	4
Название	Треугольники с углами 60 и 120 градусов
Тема	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	05.035