Задача 56857

Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Из точки M, лежащей внутри правильного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP, MQ и MR на стороны AB, BC и CA соответственно. Докажите, что  AP² + BQ² + CR² = PB² + QC² + RA² и  AP + BQ + CR = PB + QC + RA.

Решение

По теореме Пифагора AP² + BQ² + CR² = (AM² - PM²) + (BM² - QM²) + (CM² - RM²) и PB² + QC² + RA² = (BM² - PM²) + (CM² - QM²) + (AM² - RM²). Эти выражения равны.
Так как  AP² + BQ² + CR² = (a - PB)² + (a - QC)² + (a - RA)² = 3a² - 2a(PB + QC + RA) + PB² + QC² + RA², где a = AB, то  PB + QC + RA = 3a/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	3
Название	Правильный треугольник
Тема	Правильный (равносторонний) треугольник
задача
Номер	05.023