Задача 56795

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Докажите, что площадь четырехугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна  tg ^. | a² + c² - b² - d²|/4, где a, b, c и d — длины последовательных сторон,  — угол между диагоналями.

Решение

Так как площадь четырехугольника равна  (d₁d₂sin)/2, где d₁ и d₂ — длины диагоналей, то остается проверить, что  2d₁d₂cos = | a² + c² - b² - d²|. Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD,  = AOB. Тогда  AB² = AO² + BO² - 2AO ^. BO cos и  BC² = BO² + CO² + 2BO ^. CO cos. Поэтому  AB² - BC² = AO² - CO² - 2BO ^. AC cos. Аналогично  CD² - AD² = CO² - AO² - 2DO ^. AC cos. Складывая эти равенства, получаем требуемое.
Замечание. Так как  16S² = 4d₁²d₂²sin² = 4d₁²d₂² - (2d₁d₂cos)², то  16S² = 4d₁²d₂² - (a² + c² - b² - d²)².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	7
Название	Формулы для площади четырехугольника
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.044