Условие
На каждой стороне параллелограмма взято по точке.
Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине
площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей
четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.
Решение
На сторонах
AB,
BC,
CD и
AD взяты точки
K,
L,
M
и
N соответственно. Предположим, что диагональ
KM не
параллельна стороне
AD. Фиксируем точки
K,
M,
N и будем
двигать точку
L по стороне
BC. При этом площадь треугольника
KLM
изменяется строго монотонно. Кроме того, если
LN ||
AB, то
выполняется равенство
SAKN +
SBKL +
SCLM +
SDMN =
SABCD/2,
т. е.
SKLMN =
SABCD/2.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
4 |
|
Название |
Площадь |
|
Тема |
Площадь |
|
параграф |
|
Номер |
4 |
|
Название |
Площади частей, на которые разбит четырехугольник |
|
Тема |
Площадь четырехугольника |
|
задача |
|
Номер |
04.023 |
