Условие
Внутри выпуклого четырехугольника
ABCD существует
такая точка
O, что площади треугольников
OAB,
OBC,
OCD и
ODA равны.
Докажите, что одна из диагоналей четырехугольника делит другую пополам.
Решение
Пусть
E и
F — середины диагоналей
AC и
BD. Так
как
SAOB =
SAOD, точка
O лежит на прямой
AF. Аналогично
точка
O лежит на прямой
CF. Предположим, что точка пересечения
диагоналей не является серединой ни одной из них. Тогда прямые
AF
и
CF имеют единственную общую точку
F, поэтому
O =
F.
Аналогично доказывается, что
O =
E. Получено противоречие.
Источники и прецеденты использования
